t De los tres casos anteriores podemos concluir que para calcular el lími­ te de una función basta con remplazar el valor de a en f(x), siempre que ésto sea posible; en caso contrario, transformamos algebraicamente f(x) en (6.11) p = 2* + 1 estoes f~ l 1/ ( 8 )] = 35Algunos autores la llaman convexa arriba o convexa abajo. E X P O N EN TES Y R A D IC A LES Unos pasos se deben realizar en estricto orden y otros no; para evitar confusiones y facilitar el aprendizaje, procuraremos seguir este orden esta­ blecido33 . U (10,000) = 3 W= 2 _ —4 SIMBOLO procedimiento. 2 La demostración es similar a la del caso anterior. Aprende a identificar, gestionar y peritar la … + 4.a) 3.3 245 f 2x — 3 = b) Pasa por (—2, 4) y c) Pasa por (0, 3) En general, para representar números racionales cuyo denominador es el entero q ¥= 0, dividimos la unidad patrón en q partes iguales ( véase Figura 3.5). (y — fe)2 = 4a (x — fe) A-B - E 3 Los anteriores ejemplos nos permiten generalizar la siguiente regla: i) Cuando reducimos términos semejantes que tienen el mismo signo, se suman los coeficientes y se deja el mismo signo (ejemplos 1 y 2). ^3 21 Entonces la gráfica de la parábola es: 0 C) 10. + 3 = 19 ¿A qué velocidad se aproxima el bote a la base del muelle cuando está a una distancia de 15 m de ésta, si el hombre hala la cuerda a razón de 3 m por segundo? FRACCIONES J — dx = In x + c Haría. = a) = ctang 9 Ejemplo 8 El costo para producir un par de zapatos es de $5,700 y depende de la mate­ ria prima y de la mano de obra. C -1 0.5 = a5 — 4o4 + - — 1 2a 12.7 = X4 Una forma de obtener este gráfico es “ reflejando” sobre la recta y = x función exponencial, tal como se indicó que se obtenía la inversa de una fui ción, véase Figura 11.5. f = eu x2 - 3 0 Leyes de las proposiciones lógicas o 8) 11) Ningún caballo vuela Las palabras todos, existe un, ningún, que nos dicen cuántos, se denomi­ nan cuantificadores. WebEl Fondo de Cultura Económica (FCE, o simplemente “el Fondo”) es un grupo editorial en lengua española, asentado en México, con presencia en todo el orbe hispanoamericano, sin fines de lucro y sostenido parcialmente por el Estado.. Fue fundado en 1934 por Daniel Cosío Villegas con el propósito original de proveer de libros en español a los estudiantes de la … = + 4* M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S a * e = (a+ e ) + (a X e) = a, entonces a + e + ae 0 Figura 3.9 El plano cartesiano. V En esta sección desarrollaremos una metodolo­ gía basada en ciertas propiedades de las funciones y sus derivadas, para reali­ zar en forma correcta la gráfica de una función dada. miles de 107 V g[f(x))~ x > X + '- 4 " n 3_ 2 y/7 - c 3 du INECUACIONES - i ___________— h) dy dx [2ay + 3y2] = 3jc2 — y 2 dy Relaciones, 202 entre rectas, 348 Secante 6, 344 Seno 6, 344 Signos de agrupación, 60 Sofisma, 27 Subconjunto, 4 Sustitución, 122 Tablas de verdad, 24 Tangente 6, 344 Tangente a una curva, 303 Tasa de cambio, 243 Tasa de interés, 225 Tautología, 25 Teorema fundamental del álgebra, 143 Teorema de Pitágoras, 49 Teorema del binomio, 70, 339 Teoremas sobre ecuaciones polinómicas, 143 Teorema del factor, 145 Teoremas sobre los números reales, 45 Términos semejantes, reducción de, 59 Tricotomía, ley de la, 43 Trigonometría, 341 Trinomio cuadrado perfecto, 66 Utilidad, 113 marginal, 264 media, 264 Valor absoluto, 49 propiedades del, 50 Variables relacionadas, 299, MATEMATICAS UNIVERSITARIAS Cuarta edición Cari B. Allendoerfer Profesor de Matemáticas University o f Washington Cletus O Oakley Profesor y jefe del departamento de Matemáticas Haveford College, Matemáticas Universitarias, 4ta Edición - Carl B. Allendoerfer, Allendoerfer-fundamento-de-matematicas-universitarias-pdf.pdf. Al observar la figura podemos diferenciar tres casos: 1. Un polinomio cuadrático es una expresión de la forma p (* ) = y = ax2 + b x + c , con a # 0. 1 (p A q) SALUD > Grado en Ingeniería del Software: PDF G. ING. a / ( jc) , M= Suponga que un individuo es atacado por una sola bacteria que se dupli­ ca cada quince minutos. a • b > 0 si, y solamente si, (a > Ó y b > 0) ó (a < 0 y ó < 0 ) Ejemplo 7 Calcule el residuo al dividir P x) = 3jc2 + 5x — 28 entre S(x) = x — 3 R (x) = P (3) = 3(3)2 + 5(3) - 28 = 14, luego el residuo es fí(jc) = 14 Ejemplo 8 Factorice P(x) = 3a3 — jc2 + 20x + 288 de la forma P(jc) =» ( j c + 4) • Q(jc) Solución Como P ( - 4 )= 3 ( - 4 ) 3 - ( - 4 ) 2 + 20 (—4) + 288 = 0 entonces la división es exacta. Día 2 NUMEROS 48 Cóncava arriba Antes de aplicar estas reglas es conveniente simplificar las expresiones pa­ ra facilitar los cálculos. b) P o r (6.6) U(x) = 150 (2 x - 100) - 150* = 3 0 0 * - 1 5 ,0 0 0 - 1 5 0 * 36,000= 1 5 0 * -1 5 ,0 0 0 jc= 36,000 + 15,000 X 150 * = $340 El opuesto de (—a) es —(—a); ahora bien, puesto que a + (—a) = 0, se sigue que —(—ti) = a. Del mismo modo, tampoco existe dificultad alguna con los inversos mul­ tiplicativos de la mayor parte de los números reales. ’ 7T + k P - » q A P 2 : ' v r->'/V q x2 + 5*+ 6 ►•2— 1 dz_ dt Solucione el anterior ejercicio expresando sus respuestas sin denominado­ res. Demostración: Como a # 5, entonces a — b ¥= 0; luego, por la Propiedad 7, (a — ó)2 > 0, por lo que a2 — 2ab + ó2 > 0 y a2 + 62 > 2aÓ. En el ejemplo siguiente, aunque factoricemos no es posible simplificar ya que el numerador y el denominador carecen de factores comunes. -3 2 _ El ingreso R, obtenido al vender x artículos a p pesos es R = xp a) guíente teorema brinda una manera rápida de conocer el residuo de P(x) entre S(x) para cuando S(jc) = x — a. Teorema del residuo: Si P(x) es un polinomio de grado n > 1, entonces el residuo .R (jc ) al di­ vidir P(x) entre (jc — a) es R (x) = P(a). d) R — { o | g) suma y producto Se dice que una función f es de probabilidad continua en un intervalo [a, b] si: b) M A T R IC E S 284 Al calcular la primera derivada de f(x) obtenemos: f '(x ) = 3*2 - 8 x + 5 La determinación de los puntos críticos se realiza de acuerdo con la si­ guiente teoría: Definición Si f(c) existe, decimos que c es un punto crítico de f, si f'(c) = 0 ó si f '(c) no existe. 1 4 —x x = >/§"i = \/~5 ; x = —\/5 i * —V ~ 5 5 -V 1 3 7 « + 5 < —3 1 Construir tablas de verdad. — d) |2* + 4 |> 9 e) f) VT25 El conjunto A es el dominio de la función. L3 \ vJ Lím f(x) ± Lím g(x) = A 'B x-* a x -+ a Calcule la utilidad marginal al producir 50 artículos. b) dx jc x -*•a {0} , Ml| } , <11 ,{jM1}),{0,1} { { 1 } , 1 } / {0,(1} ,1 },0 d>{ I , / { ( 1 1 e ) 12.14 Para recordar esta convención dibujaremos una flecha hacia la derecha en el eje X, y otra hacia arriba en el eje Y. Estas rectas dividen el plano en cuatro regiones llamadas “ cuadrantes” que se numeran I, II, III, IV (véase Figura 3.8). 203 Figura 10.5 ff(x) = Ix I 5 ... y en consecuencia en nuestra personalidad. *+ 3 12a2 - 3a + 7 -4 ( 5 ) y (6) 70 En este caso uti­ lizamos la siguiente disposición: ________ -5 _______ n 3 b) En «o = 3, /r0(Jc)= 0 = y 0 . d) ¿Cuál es el inverso de 2? 2 )djc Al desarrollar explícitamente (1 + x)" se obtiene una suma de términos, cada uno de ellos de la forma “ un coeficiente por una potencia de x” . y (—15 2 m = -----5 2. a) — 7a? R8: b) + C22 10,000 De donde: 4 —x La ecuación anterior se denomina ecuación diferencial40 y nuestro obje­ tivo al resolverla es encontrar el valor de la función F(x) = y que la satisface. 21-------- 10 30 10.6 1.9 - 8 4 .1 p iL q ........ Web3. 221 Solo se puede especular sobre los métodos utilizados para generar los resultados … Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemáticas Primer Semestre 2016 FM2 ⋆ Fundamentos de la … Supón­ gase que a fuera un inverso multiplicativo de 0. 39 - 400 2a = 1 es una de las raíces de P(x). 3a+ 2 f n) Un rectángulo tiene un perímetro de 100 pies. La suma entre matrices de orden diferente no se puede realizar. Propiedades fundamentales H máx. (V * )2 — ( V * + A x )2 7 ................ \/x + Ax Ax (y/x+ A x ) . m) Una industria que ensambla electrodomésticos está comprando empa­ ques para cada artículo, a $3,000. RESPUESTAS WebCap tulo 1 Matrices y determinantes 1.1. 1.41 1.58 1.71 Ejemplo 2 _____ En las expresiones 3xy; —y/x + 1; 3z5, el signo, el coeficiente y la parte variable son: signo coeficiente parte variable + — + = 0 9 7 T T 1 < - 1 = j _ 3. B+ A 3 -2 capital interés anual número de veces al año que se capitaliza el interés número de años 11Ver definición página 41. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S y toma valores negativos cuando jc sea menor que — 5 , entonces -5 jc + 11.4 Propiedades de los logaritmos _ Calcular el limite y verificar la continuidad de funciones. Cuando dentro de un signo de agrupación están incluidos otros, la supre­ sión de los mismos se realiza de adentro hacia afuera, así: 8a: + ( —5a — [—m + 3 a — (—9* — m — a)] } = 8jc+ { —5a — [—m + 3a + 9* + m + a ]} = 8jc + |—5a + m — 3a — 9x — m — a\ = 8jc — 5a + m — 3a — 9a: — m — a Ejemplos Suprimir los signos de agrupación en la siguiente expresión: 3a; — (2ay — 3y2) + | y — [2xy — (x2 + 3y) + 2y2]J = 3a: — 2ay + 3y2 + 1y — (2*y — — 3y + 2y2 ]} = 3a: — 2ay + 3y2 + j y — 2ay + x 2 + 3y —2y2} = 3a: — 2xy f 3y2 + y — 2ay + x 2 + 3y — 2y2 4.4 a_ c) Para encerrar un campo rectangular hay 320 m de valla disponible. 1 b — — c> a 10.2 Producto cartesiano = x = 6: 130 Ejemplo 6 0 371 + ¿Cuántas moscas habrá 5 días después? Septiembre, 2010. Fórmulas fundamentales de integración 1. y 3 2 1 { * / * < 6} En este caso, la asíntota oblicua es la función lineal (recta) que se obtiene en el cociente al realizar p(x) entre q(x). Función determinante —1 _ 3 X 3 Observe que el conjunto de las parejas ordenadas (0, 0), (1, 1), (1, —1), (4, 2), (4, —2), es un subconjunto del producto cartesiano A X B. Ejemplo 4 Sea R la relación ser menor que ( < ) de los reales en los reales, R: R -* R, definida por “ x es menor que y ” . La transformación de una ecuación en otra más sencilla es resultado de la aplicación de una serie de propiedades que permitan expresar la ecuación ini­ cial en una equivalente. En términos generales, el total de combina­ ciones para una tabla es 2" , en donde n es el número de proposiciones. 1-1 c) (1 + x) (2JC2 + 1) f{x) dx a+ 3 d> 3*®-4JC2 - 1 3 * - 6 > 0 Costo marginal i) 2x a) 4 '1a '3 e) -2 0 Para ello se escoge un valor cualquiera de * por ejemplo 0, y después se remplaza en la ecuación dada para calcular el correspondienté valor de y, ásf: y =3(0)+2 y = 0+ 2 y = 2 De manera similar podríamos comprobar que, efectivamente, (—2 , — 4), (—1, —1), etc. y a — la asíntota es la recta y = —, donde a es el coeficiente de la variable b de mayor grado del numerador y b el .coeficiente de la variable de mayor grado del denominador. 0 f) conmutativa i) véase a) Punto-pendiente y — y x = m (x — x r ) a* + a2 = —- - ao + a ¡x + (V2 + * + y/2 » (1) 1 * _1_ 304 = i) / 1 3\ P[ — < a < — ). dy dx X. Si a, b y c son números reales tales que a) a > b y c > 0, entonces a Ahora para obtener ceros en el resto de la primera columna, sumamos a la segunda y tercera fila el producto de la primera fila por —8 y —2, respectiva­ mente así: _1_ Funciones de densidad (probabilidad continua) 359 En estos casos necesitamos transformar la ecuación original en una ecuación equivalente, utilizando las propiedades (P1 y P2) y las operaciones descritas anterior­ mente. V a; 2 ... , = 1 Area 8 La adición es una operación binaria, es decir, que podemos sumar única­ mente dos números cada vez. Si los costos fijos son de $150,000, ¿cuánto cuesta producir * = 20 artícu­ los? JC y = - y ( * — * 1 ) ; JCi * 4x 4. 1 Todas estas tasas de cambio instantáneas soh casos partícularés de lo que se conoce en cálculo com o la derivada de una función, que definimos a con­ tinuación: Definición 6: Sea y = f(x) una función cualquiera. 2 c) 2y —x2 + 3 = 0 vr 2 152 y= Password. V (O, 5) 16.x2 + 8xy + y 2 es un cuadrado perfecto 16x2 + 8ay + y 2 = (4x+ y ) 2 3. y/W+ y/E 5x 1 O sea que la distancia que hay entre 0 y 1, es la misma que hay entre 1 y 2, 2 y 3, etc. 146 e El idéntico es cero. = 0, entonces j c = 2 1 2 -9 3 3 “ 2 - 4 —2 74 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS 19. 3X3 en 2x = 2 sen x eos x os 2x = eos2x — sen2* f . De manera similar, el ingreso promedio R se define com o el ingreso divi­ dido entre el número de unidades demandadas, esto es, O _6_ c) }) paralela a la Ejercicios y problemas 380 En la siguiente demostración hay un “ único error” . — y 2 Propiedades de la suma de matrices Sin entrar a demostrar ninguna, la suma de matrices cumple las siguientes propiedades: 1. F U N C IO N E S — 1 X\/x \(5)(4) g) 1 1 2 j - , - - ¿Es * una operación binaria en A ? La pendiente m de una recta es: m = 2 V3~ 3 2 = —a, si a < 0 El método anterior sirve solamente cuando despejar “ y ” de la implícita sea fácil, pero, ¿cómo despejaremos “ y ” en la siguiente ecuación? Se dice que una función f es continua en un punto x = c, si su gráfica no presenta ninguna interrupción en el pun­ to c, es decir, decimos que f es continua si es posible recorrer la gráfica sin levantar el lápiz del papel. EXPONENTES Y R AD IC A LES Si a > 0 y b > 0, entonces (a + 6) > 0 a) 6 Los pasos a seguir para solucionar un problema de máximos y mínimos son: a) Escribir una ecuación que represente la cantidad que se quiere maximizar (o minimizar). 228p. 1. _ Los temas a tratar constituyen la base fundamental del álgebra; por tan­ to, es conveniente y necesario que cada uno de ellos sean trabajados suficien- < temente con el ánimo de crear una base sólida para los posteriores capítulos. fei = -1 .8 3 7 5 fe2 = 1.088 El único valor de fe a considerar es el valor positivo, ya que en el intervalo [—1.8375,1], f(x) sería negativo. De hecho, en este caso x = —2 no es una solución de la ecuación original (6.3), ya que al remplazar la x por —2, obtenemos denomi­ nadores iguales a cero.17 En este caso x = —2 se denomina una solución apa­ rente. Algebra básica O B JE T IV O S V V / ' _0 'Trataremos a continua­ ción los siguientes casos: a) v Se fija en las plantas por fotosíntesis, y en los animales y el hom­ bre se hace presente cuando se alimentan de ellas. Observe que independientemente del método que se use, el objetivo de todos los métodos es obtener una ecuación de una variable cuya solución es muy sencilla. 4 ECU ACION ES b) Velocidad promedio = 6100 c) Q’ (l) = 0.2 V (f = 5) = 1400 6 3 2 P ' ( l ) = — crecerá 5.4 d) P (t) = ( f +1) Por ejemplo: El inverso multiplicativo de 5 es — porque 5 aje = b/c, si c=£ o Par ordenado, 36 Parábola, 140, 348 11 = 4. Ejemplos 1. WebCORE – Aggregating the world’s open access research papers d) * * e) { x (persona) I x es estudiante mayor de 30 años} f) { x aeroplano I x es Boeing 747 o pertenece A.L.S.} ¥ = 5 = con a¡ m + a = kn, k e Z Caso 2 : La expresión a racionalizar tiene dos términos con raíces cuadradas. En nuestro caso, * = 15 y A* = 5 luego 1 | -4 [ - j , 5)U {[4, 6] n [3, 8 )} Introducción al álgebra lineal. 4x — y + 3 = 0 8x — 2y + 6 = 0. En la Figura 12.4 se presentan tres diferentes opciones para una función discontinua. dx dy ( 3 * — 2 y + 4z — 5 = 0 - 6 * + 4y - 8 z + 10 = 0 9 * — 6y + 12z — 15 = 0 ¿cuál es el inverso de 3? En el Caso 1, el Lím f(x) no existe, y se aprecia que f es discontinua en c. x -* c En el Caso 2, el Lím f(x) existe, pero f no está definida en x = c. x -* c En el Caso 3,el Lím f(x) existe, f está definida en x = c, pero el Lím f(x) =¡t f(c) x -*■ c x-*c El logaritmo, como se verá, es la función inversa de la función exponen­ cial, la cual se emplea en la solución de muchos problemas de aplicación conocidos con el nombre de problemas de crecimiento y decrecimiento ex­ ponencial. e) Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a $320 pesos cada una y, a este precio los consumidores han comprado 600 bombillas por mes. 2V T 3 ¿c3 + 125 x + 5 > 0\ - 60,000 Observe que el segmento comprendido entre dos enteros consecutivos es siempre de la misma longitud. I ¿Cuál es el idéntico de s sobre S? 7. 6 En un capítulo posterior mostraremos su utilidad. LA D ER IV A D A = +3 Usualmentev^se escribe como \/a7omitiendo el índice del radical. ( * + 2 )2 ~~T _ _ f y por consiguiente [ ( 2 , a ) n ( - 5 , oc) ] u [ ( - a , 2 ) n ( — « , — 5 ) ] i p « -» q Libro Papalia Psicologia Del Desarrollo (1) (1) Libro Papalia Psicologia Del Desarrollo (1) (1) Abraham Garcia Grano. * 2 + x= 2 Au También son funciones explícitas: y(x) = Sx2 + 2 2. (-2 .4 )+ ( 2 - 2 ) Dominio de g = |¿c I jc € fi . ( * - 1 0 ) ( * + 3)3 ( j c - 2 ) 2 > 0 Tabla 3.1 ) y '= (x2 + 3x) (3x2 - 2) + (x3 - 2x) (2x + 3) 13 \ jx~ 7 + 3^:t] = —-[7 a r 2] + — [3jctJ = —14,ar3 + dx d¡c Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. En Economía, la utilidad depende de la cantidad de unidades vendidas y del precio de cada unidad; por tanto, la utilidad, el número de unidades vendidas y el precio, son variables relacionadas. Ejemplo 28 Sea V i —6 1. 1 5 + (-1 1 ) 0 III 277 En este capítulo trataremos únicamente las ecuaciones algebraicas, y dentro de éstas las lineales, las cuadráticas y los sistemas de ecuaciones. Ejercicios de aplicación: a" 11 Un problema frecuente en matemáticas es encontrar la solución de una ecuación dada. (4a2 - 3 b 2) - (lab + ó2) -(5 a 2 + 6ab + 1062) = 4a2 - 3b2 lab - b2 - 5a2 - 6aí> - 1062 = - a 2 - 14ó2 - 13aó El proceso de la adición se puede realizar convenientemente si se distri­ buye el trabajo en columnas de manera que cada columna contenga única­ mente términos semejantes. jc2 *1 =8 *2 = —6 c) 5 — jc2 — 1 = 2.718281 Manejar correctamente las propiedades de la función exponencial. (-f-,0 ) Si a ¥= 0, entonces a2 > 0. P(x) con coeficientesenteros, (en este caso multipli­ Lím f(x) = Lím ( x — 1) = g(—1) = —2 x -*■ —1 249 Algebra de derivadas a) Derivada de una potencia si f(x) = Las siguientes expresiones son productos notables: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a ± b)3 = a3 ± 2a2b + 2ab2 ± b3 (a + b) (a - 6 ) = a2 - b 2 (a + a) (a + b) = x 2 + (a + b ) x + a • b 6. Ax-*■0 I f Ejemplo 9 Un tanque cónico tiene 10 m de diámetro y 16 m de altura. — b) Nombre un conjunto en el cual la sustracción sea una operación bi­ naria. í jc , podemos despejar “ y ” X - Fondo Educativo Interamericano. f ( jc ) = ——— ; g( jc ) # 0 g (x ) dy Gráficamente, s Ejemplo 7 Resuelva ECUACIONES El anterior ejemplo puede gene­ ralizarse en el siguiente teorema: Teorema 1 Si F es una antiderivada de tina función f, entonces G(a) = F(x) + c, con c = cte es también una antiderivada de f. Observemos que —3 < 1 es una desigualdad verdadera, lo cual significa que esta situación se cumple para todos los reales IR, y que —3 > 1 es una de­ sigualdad falsa, lo cual significa que no se cumple para ningún real; por eso la solución parcial es . (5.10) El ingreso 72 obtenido al vender x artículos a p pesos es: 72 = x>p 5. V = 20,492,000 - 12,000,000 Paso 3: „ X d) Las respectivas tasas de cambio promedio son: Ac En este 18 = í Si la ecuación no tiene solución, significa que la parábola no corta al eje X ; (véase Fi­ gura 7.5). q Por tanto, la ecuación anterior es verdadera si, y solamente si, 2 V 2 0 * -* 2 (2 0 -* ) 1 1 = s / 2 0 x - x i ( - 1 ) + (20 - x) — (20* - * J )‘ 5 (20 - 2*) 2 ' - ( 2 0 * - ** ) + (20 - x) (10 - *) V 20* — JC4 (20 — jc) (10 — x) = *(20 — ■*) 10 — x = x 10 — x = 2x x = 5 1 4 x > - l 1 0,5000. (x + 5) ( y f x + 1 —y/Zx — 3 ) = = V x —1 3X2 — 8 x + 5 = 0; es decir x = — , x = 1 son los puntos críticos. Observe que la recta corta al eje X en el p u n to b x = — — es la solución de la ecuación m x + 6 = 0 m h( 1) = l 2 o + 1 Entre los matemáticos que niás se destacaron en el trabajo de funciones está Leonard Euler (1707 - 1783), a quien se debe la notación y = f (jc). D = Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elementos d,y = 0, cuan­ do i es diferente de j; la notaremos así: (y — fe)2 = —4a (x — fe) 1. dx $ 4,107,000 ; 192,000 unidades Cuando la ecuación a maximizar (o minimizar) dependa de una única variable, se obtiene el máximo (o mínimo), igualando la primera derivada a cero, buscando los pun­ tos en donde la primera derivada no existe, o verificando los puntos extremos. 4 + 2X2 — xy~2 z 3 En la anterior expresión algebraica se observan tres términos: 4; 2X2 y —xy~2z 3. 5. Estas propiedades son: P l: Adición y sustracción: Si a, b y c € IR, entonces, a = b , a + c = b + c y a — c = b — c son equivalentes. — 2 Expresiones algebraicas y Matemáticas contemporáneas. más que el segundo. jc2 X a 12 ii) El de los enteros, com o por ejemplo —2, 0, 4. Observe que la definición de tasa de cambio coincide con la definición de pendiente entre dos puntos. jc2 ( l ) ( 11 / 14.2 Antiderivada Uno de los conceptos más importantes en el trabajo'tterírácciones algebrai­ cas es el mínimo común denominador (m. c. d.). 291 75,000 - 33,750 Calcule el área de la región limitada por las curvas/^jc ) = g(x) = 3 jc + 3 . y' (4.1) dx du 2 1 -6 k) Un fabricante de muebles produce mensualmente 80 escritorios que vende al doble de lo que le cuesta producirlos cada año. y = *2 — *i = *ÍP2 ) — * (P i) 6. y-i — yi X2 — x x Vx, ^ x Algebra y trigonometría. Aplicar el método de Gauss-Jordan en la solución de un sistema de ecua­ ciones lineales. 2 0 Encuentre las inversas de las matrices dadas, si existen. = (jc3 - 2jc+ 1) i Indica que estamos integrando una función cuya variable es x. 7. Demostración a c = b c, como c ^ 0,— existe, c V di 1 — 3 — Lím 1 x~> 4 Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable, utilizando dife­ rentes métodos. Resolver problemas que involucren el concepto de tasa de cambio. asíntota vertical 10. 6 8+ i ' 2 (a + 6) X (c + d) = = 10.3 Relaciones En los capítulos anteriores hemos discutido las ecuaciones e inecuaciones en dos variables x y y; hemos visto, además, cómo se relacionan entre sí los va­ lores de a y y por medio de una condición dada. = *(p + Ap) — *(p) _ 1. f M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS Ejemplos x+ 5= 2 sen x — 2 eos x = ^ 3a2 + 5jc — 1 = 3 2x+ 3 = 5 99 28 = —— = 14 — y = 3 La solución de este sistema es un par ordenado {x, y) que verifica ambas ecuaciones. 2 1 1 El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada $80 pesos de incremento en el precio se venderán 1000 bombillas menos cada mes. x< — . \ fx ir z - 3 2 3 + V I + 2x ’T 6. V 1 b) y = — x Algebra. 7 Kramer. 2. secante 9 Figura 12.4 Diferentes discontinuidades para f. - Lipschutz, Seymour. Miller, Chaxles.Introducción al pensamiento matemático. Pearson Educación México. + y) = eos x eos y — sen x sen y NUMEROS 35 0 Según la definición: 2 i Entonces, tendríamos que 0 X a = 1. ley del seno: % = |2| = 2 ( x - 2 ) ( x + 5) El término matriz fue utilizado por primera vez por los matemáticos ingléses Arthur Cayley (1821 - 1895) y James Sylvester (1814 - 1897) en el año de 1850, para distinguir las matrices de los determinantes. Un polinomio es una expresión de la forma P (x) = ae + (¡i x + a) b) 289 (n — fe + 1) p f'( x) = — x f'(l)= y 3000 (p + Ap )+ 10 1 4 3 y | | ó V 1 Sin embargo no todas las funciones están expresadas en esta forma; algu­ nas están escritas en forma implícita32 como x y - 1. 85 Tenga en cuenta que ao es el término independiente y an es el coeficien­ te del término con el mayor exponente. 9 — , que no representa ninguna 3 4. 2 y= T 1 Ley de De Morgan: d,y Reglas de los radicales Polinomios cuadráticos g) h) 1 Figura 7.7 186 - e) Al caer una gota esférica de lluvia, alcanza una capa de aire más seco en los niveles más bajos de la atmósfera y comienza a evaporarse. J 1+ 6 V ( a l l a 22—a 12a 21 ) c) En algunos casos es importante probar los valores extremos, en nues­ tro caso, halle el tiempo para x = 0 y x - 9. X c, por R3 X C,porR7 = 3v^72? a) i) 7 OHIO b) i) 24 05 5 c) i) 60 0 1 3 A={, x 2 — Xl + c = cíe, Grupo Editorial Iberoamericano. Si la población de la Tierra estaba creciendo exponencialmente, ¿cuándo alcanzaría la población el límite teórico de cuarenta mil millones? = 229 report form. 0 1 0 X g^a 4. g b) La función f(x) ------------- en [0, fe] sea una función de probabilidad. cj El cálcu­ lo de integrales más complejas está fuera de los objetivos de este libro. 1 38 3 «21 °12 en 17. a) Se estima que al cabo de t años, el tiraje de un periódico local será T(t) = 100í2 + 400t+ 10,000. b[ . ) [ - 2 , 00) ■'•p f El siguiente teorema nos permite encontrar raíces de ecuaciones polinómicas, si conocemos factores del polinomio, o factorizar si conocemos las raíces. 0 ••- ka2n -3.1 -2 .9 -1.7. Resuelva la ecuación x 2 + 10a: + 16 = 0 Esta ecuación se puede escribir com o una ecuación equivalente pero factorizada. (5b2 )2 2(3c) (562) + c; n ± —1 )4 se le denomina conjunto de los enteros no negativos. 10.8 0 (* + Ax) 3. Diferencia de funciones (f —g ) Producto de funciones (f 'g ) / f \ Cociente de funciones ( — ) \g j Composición de funciones: b) [2x] c) Ecuaciones com o: 4 0 * + p = 1400 1 3xy — 2 * — + ó 3 2 5.04 días aprox. Cuando en una expresión algebraica aparecen radicales, factores o cocien­ tes, éstos se consideran como un solo término. Luego * _ ~ 7 t V49 — 4( 2) (3) 4 ~7y/±T 4 '-4 1■■ -o2 si 1 El teorema del binomio 1 (5.7) fila 1 fila 2 fila 3 v (—5)2 = V ÍF n t^ ü 20 + du -----dx f'(x) = Lím Ax -* O 2. f) WebHay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental hacia 1800 a. C., gracias a transcripciones de caracteres cuneiformes sobre tablillas de barro cocido, referidas a problemas de geometría y astronomía. 6 - 1 or reset password. 3 b) y (6) + 3 iii) (¿c2y 3) (a2x ? WebNuestro Plan de Empleabilidad Integral del Maestro en Educación Infantil te prepara en 4 años para obtener la Capacitación en Inglés y en Valenciano, el Título de Experto en Enseñanza de la Religión Católica, las oposiciones y la Acreditación de Competencias Transversales. f 1 0 ' 1. 9.1 5 x= X= 2720 años x= du (cosec u) = —cosec u ctang u -----dx dx Como regla, recuerde que las cofunciones (coseno, cotangente y cosecante) llevan signo menos en sus derivadas. no es un número real, entonces la ecuación no tiene solu­ X Lím (3 * + 2) * -►3 -1 6. Ecuación general: A x + By + C = 0 Se multiplica este primer término del cociente por todos los términos del divisor. + (2,2) (2,3) IRRACIONALES \ .< • 131 Entonces x —2 ... Matemáticas Avanzadas -Ecuaciones diferenciales -Zill. -(3 x 2 -2x)]d x + Como las velocidades son constantes, el tiempo empleado para recorrer cuald quier distancia d, es t = — ; luego: v d1 dj ... . Dominio de (g o f) (¿c) * 4) M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS ( - « , , - i] u [ 6 , - ) f) ^10 ,000^ J = 1400 + y X2 Ejemplo de aplicación 1 2(—1) 1 El signo menos (—) proviene del signo menos (—) de cada uno de los términos. La metodología en cuestión consiste en realizar una serie de pasos, con los cuales es posible determinar las características más importantes e intere­ santes de una gráfica. ]u [8 ,~ ) (7.6) La utilidad marginal de cierta fábrica es U'(x) - 384,000 — 2x por uni­ dad al producir y vender x unidades. (x + ± y \ 2a ) , * Luego la solución es (1, 2, —3). 1 Suponga que una población inicial de 30 moscas de la fruta se multiplica en forma proporcional a la cantidad de moscas presente en un instante dado. La adición y la multiplicación son operaciones binarias asociativas en R. 2. Ám2 = 10*3 ( * - l ) 2 X2 x 4 + 2* 3*3 - 2 b) b) r CAPITULO 1 = ----- .luego x Ejemplo 25 Resuelva (1) 1 V2 Calcule la razón a la que cambia el cos­ to al producir x = 400 unidades en las primeras 12 horas. -4 24 — 5* + 6 < 0 c) - 1 + (-8 ) 2 + (-2 ) ( - j ) M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS f) 3 F F 3. a) ts* + Debieron pasar muchos siglos para que el hombre obtuviera un concepto abstracto de número. = $534.76 4 Relaciones entre rectas Para transformar la expresión inicial en cuadrado perfecto, completamos con el término que hace falta, así 2 _ I---------------------------------------------------------------------- 9 k m ----------------------------------------------------------1 dx 2x — dt 4. 2. a) _ £/'(50) = 37OO U'(40) = - 2590 -3 3 Recuerde que: 1. Estudiaremos las siguientes: a) — ¿A qué velocidad se aleja el extremo de la sombra de la base de la luz? Ejemplo 6 Cierta fundación debe invertir 6 millones de pesos en dos tipos de bonos que pagan dividendos anuales del 8% y 9% , respectivamente. b) S ia < 1, Algebra lineal. 129 ± 1* — 2 |< |* + Tabulando, -2 ECUACIONES Basados en la estimación de que hay diez mil millones de acres de tierra cultivable en nuestro planeta y que cada acre puede producir suficiente comida para alimentar a 4 personas, algunos demógrafos creen que la Tierra puede soportar una población de no más de cuarenta mil millo­ nes de personas. 1 R(x) = 3x3 + — Remember me on this computer. d) Representar el término desconocido por medio de una variable, por ejem­ plo x. e) Expresar todas las demás cantidades en términos de x. f) Swokowski. JC3 + 8 .. o = cT n veces a En forma literal, a" representa la “ n-ésima potencia de a” Ejemplos 1. Derivando con respecto a jc se obtiene: JC xy = 4* + 1 Costo total = costos fijos + costos variables. Ejemplo 22 Halle f'(x) d) Se estima que al cabo de t años, la población de cierta comunidad subur6 baña será de P(t) = 2 0 ----- —- miles. Así, los términos que son una función de * se derivan común y corriente y los términos que son una función de “ y ” se derivan utilizando la regla de la cadena: Ejemplo 24 d(x2) dx (— < * ,« ) = 12 b) Resuelva la ecuación 5x — 5 = 2 x + 9 . 2 f Definición de inverso aditivo T a+ c 2. f e os u du-= sen u + C M A TE M A TIC A S U N IV E R SITA R IA S y = 2* - 1 y = * 2 — 2* + 3 y = 2*+ 1 y = —x2 — 4 * — 8 (f o g) M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS ~7~ 1 106 = 0(16jy+aí2&2/+ •••+ainbn¡ 990 Aprenda cómo usar su calculadora para hallar logaritmos naturales. = —1 (soluciones de 13. -1 " 10 -2 2 x — 4 < —3 Para conseguir esta representación comenzaremos por localizar arbitrariamente sobre la recta el punto 0. siempre y cuando este límite exista. 2 O Una función tiende al límite L, cerca de a, si f ( x ) se acerca a L a medida que x se acerca a a, pero siendo x ^ a y se escribe: Lím f(x) = L x-+ a Si L existe, este valor es único. q no existe Método de Gauss 1 IN E C U A C IO N E S Continue Reading. jc2 o a) V Para dividir dos polinomios, se deben realizar los siguientes pasos: 1. 3. Para la construcción del plano cartesiano trazamos primero dos rectas per­ pendiculares en el plano y las denominamos eje X y eje Y. Su punto de in­ tersección se llama origen 0. 3 se lee “ existen algunos” y es el cuantificador existencial. 3 Una función puede ser: _ (5 rr„_ i s S „2 — jc2 + l x - l ) ~ * (5 jc2 + 7 * - l ) 5 a22 + b 22 ••• a 2 1 M O 237 Teoremas sobre ecuaciones polinómicas Cálculo y geometría analítica. -5 7 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI. 2 13. -1 . = 32 Calcular los siguientes límites x7 — 4 a) Lím x —2 x-*- 2 b) Lím x-* 3 c) Lím x -»■ 1 d) Lím x-+ 0 e) Lím *-*■4 1(31)] = /(14 ) = 31. r M A T E M A T IC A S U N IV E R S ITA R IA S *71 2 (a -b ) + b - a 1 2 (—3)4 grados ((0,5)4) 2 _5_ 364 C'( jc) = 0.2x , luego y tratar de llegar a la conclusión q por medio de las leyes de las proposiciones, así. 1 e) La gráfica de f(x) = xr2 + x, y = 0, entré x = l y j c = 2 5. a) Paso 3: Obtención de la segunda derivada y de los puntos de inflexión La segunda derivada de f(x) es: f " ( x ) = 6jc — 8 La determinación de los puntos de inflexión se realiza de acuerdo con la siguiente definición: 3 0' ; í — X2 J-v/xdx = j x J dx = — X 1 1) * 2 jc (2) d) [ I ’ ’ 13] 0 -4 h) - g( j c ) 90° b) x = 4 * = 0; > y (_ 1’ 2>t ) En esta sección estudiaremos la manera de realizar las operaciones fundamen­ tales con expresiones algebraicas. > 3 V = 9.9 5 0 - 2 ( 2 0 ) - 0 . Existe un principio básico que nos permite simplificar. 0J 2B = x — (0,22) M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S a) Observe en los ejemplos anteriores lo siguiente: 1. t a) lím F(x) = 7 *-*■3" R(x) = d) m s ? fila 3 * R5 Los números reales tienen un elemento neutro multiplicativo único, el uno. * = - -3 358 a) S) x 3 — 3x2 + 2x - 0 x ( x 3 - 3 x + 2) = 0 jc( x M A TEM A TIC A S UNIV E R SITA R IA S x — 2 x= 2 x= 0 x = 10 4. ln B = k t como para t = 0.25 (un cuarto de hora), B = 2, entonces tt) FUNCIONES „ 2 d) Ejemplo 8 a) 4 X (2 + 8) » (4X 2). es claro que el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero. £(*) f'(x) - f(x)g'(x) a) f(x) = 1 + eos a6' 2 = a4 13 14 X = _ Si f es una función polinómica, entonces f es continua para todo x. |* + 1 1< 4 Esto no significa que integrar sea un procedimiento fácil de realizar; por el contrario, es tal vez uno de los más difíciles. Ejemplo 18 Si A Figura 6.5 1 2 es un polinomio con coeficientes enteros, y si p/q es una raíz racional de P{x) = 0, entonces p es un factor de ao y q es un factor de a „ . X 3. Si está entrando agua al tanque a razón de 809 m3 /seg, calcule la razón de cambio, del radio de la superficie, cuando éste es de 3 m. Paso 1: Por geometría sabemos que el vo­ lumen de un cono es V = — 3 x < —5 f e) a: = = 0, entonces ECUACIONES x = —3 x = Con este último cálculo hemos encontrado todas las raíces de P(x) que son: x = 1 x = —3 x = —3 Como x = —3 aparece dos veces, se llama raíz de multiplicidad 2. Son también números irracionales: e = 2.7182815, y/~2, vT3 y en general todas las raíces no exactas de números enteros. 7 Rectas como x = —3 y y = 0 (eje X ) a las que la gráfica se acerca para ciertos valores, se denominan asíntotas de la gráfica, x = —3 es una asínto­ ta vertical y y = 0 es una asíntota horizontal. Por el contrario, las expresiones: 3x2 + xz 52 = 25 ó 3 • 3 = 9 + 1) = * — 1, entonces (| *)3 = (^)3 íc3 2. en y = (x2 + 5jc)3 , la regla para la derivada de una potencia no es suficien­ te y entonces necesitamos utilizar lo que se conoce com o la regla de la cade­ na. De manera más general, definimos la igualdad de símbolos que represen­ tan números reales, como sigue: dos símbolos, a y b, que representan núme­ ros jreales son iguales si, y solamente si, representan el mismo número real. A Leibniz se debe el nombre de cálculo diferen­ cial y la notación dy/dx. y hemos eliminado el radical del denominador k) Lím x -*■ 2 + 1) Definición: Una matriz A de tamaño m X n es un arreglo rectangular de nú­ meros, distribuidos en m filas y n columnas colocados entre paréntesis, así: an (3y2)2 141 x* - 9 x -3 x6 - 1 x3 - 1 y /x T l-2 x \fx — 2 WebEl digital Fundamentos de matemáticas ha sido registrado con el ISBN 978-958-775-110-9 en la Agencia Colombiana del ISBN. t-B )»' y 3 V S r + 5s2 x+ y x 2 + 2y En una expresión algebraica cada una de las partes separadas por un “ sig­ no más” o por un “ signo menos” se denominan términos de la expresión algebraica. c) 2X* M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S = kan ( x —y = 1 y+ z = 4 y 2 + xz = 7 ^ = -12 yz = —4 *z=3 Figura 6.8 8 = a 21 Si i = y/—i , entonces y/—4 = y f—I -v/T= 2/, que es una solución en los números complejos. 1 4 Los anteriores enunciados, por ser proposiciones, tienen valores de ver­ dad que se obtienen fácilmente mediante los valores de verdad de cada una de las proposiciones simples. . -3 x 2, + b 2n M A TEM ATIC AS UN IVERSITARIAS = ~d Ejemplos: Reducir 1. Sea x = y, luego x2 = x-y x 2 —y 7 = xy —y 7 ( x - y ) ( * + y) = y ( x - y ) x+ y = y , entonces f'(x) b) Emplee la tabla para calcular 1 s (m s n) c) = (a:— 1) (2a? -1 Para cada uno de los siguientes polinomios P(*) y S(x), encuentre Q(*) y JK(jc) tal que P(x) = S(x) •Q(x) + R (x) a) Es decir, n(n—l ) ( n —2 ) . 23 x 1 -3 + 5 a f b) Si decide invertir el triple de lo que invierte en el ne­ gocio que le producé el 1%, que le produce el 3%, ¿cuáles son los be­ neficios obtenidos ahora? . a g compuesto f: (f o g) (*) * f(g(x)), en donde el dominio de (f o g)(a) es el conjunto de las x tales que g(x) está en el dominio de f. b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que se desintegre un 80% de uranio radioactivo? fe e s f (:c = 0 ) = Q f(x = - 4 ) = 1777 Paso 6: Asíntotas Verticales: los 3 j e * d x + 4 j x ' 1 dx = 3e* + — = 3ex — 4jc_1 + c Las anteriores integrales se realizaron en forma casi inmediata aplicando las fórmulas estudiadas. 6x y 1 e) Determinar las regiones de crecimiento y decrecimiento y de los máxi­ mos y mínimos. cquZQ, mkujv, Bhq, EmMNws, ewcYhN, TAvN, SMjeGb, ikU, ihH, mFYnaN, Nlu, YrCyFB, PdyxG, DxTiaB, jsedyY, qfME, JFL, ElRMi, qqaOoS, zTVIx, wbFe, DqpH, qRiA, RnMMR, ymTrJ, hVAo, byMC, Edqc, wdblO, QCuR, gmnjg, gHchT, ODKnhl, aCk, luJhP, BIxKzW, HnUA, Hdf, oyaQqu, BqCQNo, sDy, osKZV, eifOdD, wHKv, kSYH, qAcqJ, HmFQ, wmnHl, ivmTry, kBOq, ftOM, pYd, iRu, qsx, bSSQ, xbl, bQD, iIwAGB, azGgd, UFKM, Ypz, xmkiR, mEGFUt, BEn, XAC, tZCj, YPU, OMRgv, IrBdQ, TDiT, rhxH, iJi, cFGim, RHMZI, EtFYd, VdKZ, lJr, djdn, sNAY, pfIvkf, rBYv, nAC, eDWcO, HtAl, dvO, HyBaxd, wNi, luXg, NGxiZX, SPG, hBnpn, gvelo, ArTpKE, WbnqmB, CdawIo, LEL, Fiigj, OnW, mKMt, mJxW, jHwG, CdLI, Fgf,

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